典型系统判定方法

线性系统

每一项都有输入变量 $x$
每一项输入变量的次幂都是一次

e.g. :

$y(t)=2x(t)+3x(t-2)$ 、 $y(t)=2tx(t)$ 、 $y[n]=nx[n-3]$ 、$y(t)=x(t^2+3t+2)$是线性系统

但是 $y(t)=2x(t)^2$ 、 $y(t)=x(t)+1$ 不是线性系统

时不变系统

时间变量 $t$ 只能是输入变量的输入，即 $t$ 只能在输入变量的括号里面
时间变量 $t$ 的系数只能是1，而且次幂只能是1次

e.g. :

$y(t)=3x(t)-x^2(t)$ 、 $y(t)=x(t)+1$ 等都是时不变系统

但是 $y(t)=tx(t)$ 、 $y[n]=x[t-3]$ 、 $y[n]=x[-t]$ 、 $y(t)=x(t^2-1)$ 都不是时不变系统

因果系统

输出不依赖于未来输入，直接看对于某一时刻 $t_0$ 输入到系统后，对于$t\ge t0$ 的 $y(t)$ 都有值，但是 $t<t0$ 时 $y(t)$ 没有值（为0）

e.g. :

$y(t)=x(t-3)$ 是因果系统

但是 $y(t)=x(t+3)$ 、$y(t)=x(\frac{1}{2}t)$ 、 $y(t)=x(3-t)$ 都不是因果系统

无记忆系统

一个系统的输出 $y(t)$ 仅仅依赖当前时刻输入变量$x(t)$ 的值

e.g. :

$y(t)=3x(t)-e^{x(t)}$ 、 $y[n]=x^2[n]+3x[n]+\sin{x[n]}$ 都是无记忆系统

但是 $y(t)=x(t)+1$ 、 $y(t)=\frac{d}{dt}x(t)$ 、 $y(t)=\int_{-\infty}^{t} x(\tau )d\tau$ 等都是记忆系统

注意：无记忆系统必然是因果系统

可逆系统

输入变量能够唯一表达成关于输出变量的系统，即有无确定的反函数

e.g. :

$y(t)=tx(t)+1$ 、 $y[n]=\sum_{i=-\infty}^{n}x[i]$ 、 $y(t)=\int_{-\infty}^{t} x(\tau )d\tau$ 、 $y(t)=x(\frac{1}{2}t-3)$ 都是可逆系统

但是 $y(t)=\frac{d}{dt}x(t)$ 、 $y(t)=x^2(t)$ 等这些都是不可逆系统（微分器的逆是积分，但是有个常数无法确定）

稳定系统

给一个系统输入有界的信号 $x(t)$ 得到的输出 $y(t)$ 也是有界的，那么该系统为稳定系统

e.g. :

$y(t)=exp(x(t))$ 、 $y(t)=tx(t)$ 、 $y[n]=x[n]-x[n-1]$ 都是稳定系统

但是 $y[n]=\sum_{i=-\infty}^{n}x[i]$ 、 $y(t)=\frac{d}{dt}x(t)$ 都是不稳定系统

单位冲激函数、单位延迟函数

对于冲击函数如此定义（数学定义）：

\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t) x(t)dx=x(0)

这个就是数学上严格的定义，或者工程上可以看作某个矩形门函数在脉宽趋近0的逼近。

以下是 狄拉克 $\delta$ 函数（连续） 与 单位脉冲 $\delta[n]$ （离散） 的完整性质汇总。

连续 $\delta(t)$ 的核心性质

性质	公式	说明
筛选（Sampling）	$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t-t_0)\varphi(t)\,dt=\varphi(t_0)$	$\varphi(t)$ 在 $t_0$ 连续
单位元（卷积）	$x(t)*\delta(t)=x(t)$	卷积的"1"
时移（卷积）	$x(t)*\delta(t-t_0)=x(t-t_0)$	搬移 $t_0$
乘积	$f(t)\delta(t-t_0)=f(t_0)\delta(t-t_0)$	$f$ 在 $t_0$ 连续
尺度	$\delta(at)=\dfrac{1}{\\|a\\|}\delta(t)\quad(a\neq 0)$	冲激变窄则变高
对称	$\delta(t)=\delta(-t)$	偶函数
与 $u(t)$ 关系	$\displaystyle\int_{-\infty}^{t}\delta(\tau)\,d\tau=u(t),\quad \frac{d}{dt}u(t)=\delta(t)$	微积分互逆
倒数（乘积）	$\delta'(t-t_0)f(t)=f(t_0)\delta'(t-t_0)-f'(t_0)\delta(t-t_0)$	筛选特性
导数（冲激偶）	$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\delta'(t-t_0)\varphi(t)\,dt=-\varphi'(t_0)$	负号来自分部积分
$n$ 阶导数	$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\delta^{(n)}(t-t_0)\varphi(t)\,dt=(-1)^n\varphi^{(n)}(t_0)$
卷积微分	$x(t)*\delta'(t)=x'(t)$	微分算子
复合函数	$\delta(f(t))=\displaystyle\sum_{i}\frac{\delta(t-t_i)}{\\|f'(t_i)\\|}$	$t_i$ 为 $f(t)=0$ 的单根
能量/面积	$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)\,dt=1$	注意如果是 $\delta'(t)$ 积分为0
平方积分	$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\delta^2(t)\,dt$ 无定义	不是普通函数，平方无意义

离散 $\delta[n]$ 的核心性质

$\delta[n]$ 是普通序列，不是广义函数。

性质	公式	说明
筛选	$\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]\delta[n-k]=x[k]$	直接提取第 $k$ 个样值
单位元（卷积）	$x[n]*\delta[n]=x[n]$
时移（卷积）	$x[n]*\delta[n-k]=x[n-k]$	搬移 $k$ 点
乘积	$x[n]\delta[n-k]=x[k]\delta[n-k]$
与 $u[n]$ 关系	$\delta[n]=u[n]-u[n-1]$	一阶差分
累加	$u[n]=\displaystyle\sum_{k=-\infty}^{n}\delta[k]$	累加
Z 变换	$\mathcal{Z}\{\delta[n]\}=1$	ROC：全平面
DTFT	$\mathcal{F}\{\delta[n]\}=1$	常数 1
DFT	$\text{DFT}\{\delta[n]\}=1$ （对所有 $k$ ）	全频均匀

以下是 $u(t)$ （连续阶跃） 与 $u[n]$ （离散阶跃） 的完整性质汇总。

连续 $u(t)$

性质	公式	说明
定义	$u(t)=\begin{cases}1,&t>0\\0,&t<0\end{cases}$	$t=0$ 处通常定义为 $1/2$ 或 $1$ ，视教材而定
与 $\delta(t)$ 关系	$\displaystyle\frac{d}{dt}u(t)=\delta(t),\quad \int_{-\infty}^{t}\delta(\tau)\,d\tau=u(t)$	微积分互逆
积分（卷积）	$x(t)*u(t)=\displaystyle\int_{-\infty}^{t}x(\tau)\,d\tau$	积分器
时移积分	$x(t)*u(t-t_0)=\displaystyle\int_{-\infty}^{t-t_0}x(\tau)\,d\tau$	从 $t_0$ 开始积分
乘积	$x(t)u(t-t_0)=\begin{cases}x(t),&t>t_0\\0,&t<t_0\end{cases}$	截断/加窗
尺度	$u(at)=\begin{cases}u(t),&a>0\\u(-t),&a<0\end{cases}$	注意 $a<0$ 时翻转
对称分解	$u(t)+u(-t)=1\;(t\neq 0)$	与反阶跃互补
符号函数	$u(t)-u(-t)=\text{sgn}(t)$	或 $2u(t)-1=\text{sgn}(t)$
拉氏变换	$\mathcal{L}\{u(t)\}=\dfrac{1}{s}$	$\text{Re}\{s\}>0$
双边拉氏	$\mathcal{L}\{-u(-t)\}=\dfrac{1}{s}$	$\text{Re}\{s\}<0$
傅里叶变换	$\mathcal{F}\{u(t)\}=\pi\delta(\omega)+\dfrac{1}{j\omega}$	含直流冲激项
$u(t-t_0)$ 的 FT	$\pi\delta(\omega)+\dfrac{e^{-j\omega t_0}}{j\omega}$	时移
$u(t)$ 的导数	$u'(t)=\delta(t)$	广义导数
$u(t)$ 的 $n$ 阶导数	$u^{(n)}(t)=\delta^{(n-1)}(t)$

离散 $u[n]$

性质	公式	说明
定义	$u[n]=\begin{cases}1,&n\ge 0\\0,&n<0\end{cases}$	$n=0$ 处明确定义为 $1$
与 $\delta[n]$ 关系	$\delta[n]=u[n]-u[n-1]$	一阶后向差分
累加	$u[n]=\displaystyle\sum_{k=-\infty}^{n}\delta[k]$	累加器
差分（卷积）	$x[n]*\delta[n]=x[n]$
累加（卷积）	$x[n]*u[n]=\displaystyle\sum_{k=-\infty}^{n}x[k]$	累加器
时移累加	$x[n]*u[n-k]=\displaystyle\sum_{m=-\infty}^{n-k}x[m]$	从 $k$ 开始累加
乘积	$x[n]u[n-k]=\begin{cases}x[n],&n\ge k\\0,&n<k\end{cases}$	截断左边序列
$u[n]$ 的 Z 变换	$\mathcal{Z}\{u[n]\}=\dfrac{1}{1-z^{-1}}=\dfrac{z}{z-1}$	$\\|z\\|>1$
$u[n]$ 的 DTFT	$\dfrac{1}{1-e^{-j\Omega}}+\pi\displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\Omega-2\pi k)$	含周期冲激项
$-u[-n-1]$ 的 ZT	$\dfrac{1}{1-z^{-1}}=\dfrac{z}{z-1}$	$\\|z\\|<1$
$u[n]$ 的 DFT	无闭式（无限长）	需截断后求
$u[n]$ 的差分	$\nabla u[n]=u[n]-u[n-1]=\delta[n]$
$u[n]$ 的 $k$ 阶差分	$\nabla^k u[n]$ 产生有限长序列

$u(t)$ 与 $u[n]$ 的关键区别

对比项	连续 $u(t)$	离散 $u[n]$
$t=0$ / $n=0$ 处	通常取 $1/2$ 或 $1$ （约定不一）	严格为 $1$
导数/差分	广义导数为 $\delta(t)$	后向差分为 $\delta[n]$
积分/累加	$\int_{-\infty}^{t}u(\tau)\,d\tau=t\,u(t)=r(t)$ （斜坡）	$\sum_{k=-\infty}^{n}u[k]=(n+1)u[n]$
自卷积	$u(t)*u(t)=t\,u(t)$	$u[n]*u[n]=(n+1)u[n]$
傅里叶变换	含 $\delta(\omega)$	含周期 $\delta(\Omega-2\pi k)$
双边对应	$-u(-t)$ （反因果）	$-u[-n-1]$ （反因果）

常用组合公式

表达式	结果	用途
$u(t-a)\cdot u(t-b)\;(a<b)$	$u(t-b)$	取更晚的窗口
$u(t-a)+u(b-t)\;(a<b)$	在 $(a,b)$ 上为 $1$ ，其余为 $1$	需配合理解
$u(t-a)-u(t-b)\;(a<b)$	$\text{rect}_{[a,b]}(t)$	门函数
$u[n-a]-u[n-b]\;(a<b)$	在 $n\in[a,b-1]$ 上为 $1$	离散门/矩形窗
$u[n]\cdot u[n-k]\;(k>0)$	$u[n-k]$	截断后右移
$a^n u[n]$	右边指数序列	Z 变换最基础对

四大变换总表

连续时间

双边拉氏变换：必须标注收敛域 $\displaystyle X(s)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-st}dt$
傅里叶变换：$\displaystyle X(j\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt$ （即 $s=j\omega$ 收敛域包含虚轴）

信号 $x(t)$	傅里叶变换 $X(j\omega)$	双边拉氏变换 $X(s)$	收敛域
$\delta(t)$	$1$	$1$	全平面
$\delta(t-t_0)$	$e^{-j\omega t_0}$	$e^{-st_0}$	全平面
$\delta^{(n)}(t)$	$(j\omega)^n$	$s^n$	全平面
$1$	$2\pi\delta(\omega)$	—	不存在
$u(t)$	$\pi\delta(\omega)+\dfrac{1}{j\omega}$	$\dfrac{1}{s}$	$\text{Re}\{s\}>0$
$-u(-t)$	—	$\dfrac{1}{s}$	$\text{Re}\{s\}<0$
$t^n u(t)\;(n\ge 0)$	—	$\dfrac{n!}{s^{n+1}}$	$\text{Re}\{s\}>0$
$-t^n u(-t)$	—	$\dfrac{n!}{s^{n+1}}$	$\text{Re}\{s\}<0$
$e^{-at}u(t)\;(a>0)$	$\dfrac{1}{a+j\omega}$	$\dfrac{1}{s+a}$	$\text{Re}\{s\}>-a$
$-e^{-at}u(-t)$	—	$\dfrac{1}{s+a}$	$\text{Re}\{s\}<-a$
$e^{-a\\|t\\|}\;(a>0)$	$\dfrac{2a}{a^2+\omega^2}$	$\dfrac{2a}{a^2-s^2}$	$-a<\text{Re}\{s\}<a$
$e^{j\omega_0 t}$	$2\pi\delta(\omega-\omega_0)$	—	不存在
$\cos(\omega_0 t)$	$\pi[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)]$	—	不存在
$\sin(\omega_0 t)$	$\dfrac{\pi}{j}[\delta(\omega-\omega_0)-\delta(\omega+\omega_0)]$	—	不存在
$\cos(\omega_0 t)u(t)$	—	$\dfrac{s}{s^2+\omega_0^2}$	$\text{Re}\{s\}>0$
$\sin(\omega_0 t)u(t)$	—	$\dfrac{\omega_0}{s^2+\omega_0^2}$	$\text{Re}\{s\}>0$
$e^{-at}\cos(\omega_0 t)u(t)$	$\dfrac{a+j\omega}{(a+j\omega)^2+\omega_0^2}$	$\dfrac{s+a}{(s+a)^2+\omega_0^2}$	$\text{Re}\{s\}>-a$
$e^{-at}\sin(\omega_0 t)u(t)$	$\dfrac{\omega_0}{(a+j\omega)^2+\omega_0^2}$	$\dfrac{\omega_0}{(s+a)^2+\omega_0^2}$	$\text{Re}\{s\}>-a$
$\text{sgn}(t)$	$\dfrac{2}{j\omega}$	$\dfrac{2}{s}$	$\text{Re}\{s\}>0$
$\text{rect}\!\left(\dfrac{t}{\tau}\right)$	$\tau\,\mathrm{Sa}\!\left(\dfrac{\omega\tau}{2}\right)$	—	—
$\mathrm{Sa}(\omega_0 t)$	$\dfrac{\pi}{\omega_0}\text{rect}\!\left(\dfrac{\omega}{2\omega_0}\right)$	—	—

离散时间

DTFT：周期 $2\pi$ $\displaystyle X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j\omega n}$
z 变换：必须标注收敛域 $\displaystyle X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}$
关系： $X(e^{j\Omega})=X(z)\big|_{z=e^{j\Omega}}$ （要求收敛域包含单位圆）

离散时间傅里叶变换（DTFT）

信号 $x[n]$	DTFT $X(e^{j\omega})$
$\delta[n]$	$1$
$\delta[n-k]$	$e^{-j\omega k}$
$1$	$2\pi\displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-2\pi k)$
$u[n]$	$\dfrac{1}{1-e^{-j\omega}}+\pi\displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-2\pi k)$
$a^n u[n]\;(\\|a\\|<1)$	$\dfrac{1}{1-ae^{-j\omega}}$
$-a^n u[-n-1]\;(\\|a\\|>1)$	$\dfrac{1}{1-ae^{-j\omega}}$
$(n+1)a^n u[n]\;(\\|a\\|<1)$	$\dfrac{1}{(1-ae^{-j\omega})^2}$
$e^{j\omega_0 n}$	$2\pi\displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-\omega_0-2\pi k)$
$\cos(\omega_0 n)$	$\pi\displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}\big[\delta(\omega-\omega_0-2\pi k)+\delta(\omega+\omega_0-2\pi k)\big]$
$\sin(\omega_0 n)$	$\dfrac{\pi}{j}\displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}\big[\delta(\omega-\omega_0-2\pi k)-\delta(\omega+\omega_0-2\pi k)\big]$
对称矩形窗 $u[n+N_1]-u[n-N_1-1]$	$\dfrac{\sin\!\big[\omega(N_1+\frac{1}{2})\big]}{\sin(\omega/2)}$
$\dfrac{\sin(\omega_c n)}{\pi n}$	$\text{rect}\!\left(\dfrac{\omega}{2\omega_c}\right)$ （周期 $2\pi$ ）
$a^{\\|n\\|}\;(\\|a\\|<1)$	$\dfrac{1-a^2}{1-2a\cos\omega+a^2}$

z 变换

信号 $x[n]$	z 变换 $X(z)$	收敛域
$\delta[n]$	$1$	全平面
$\delta[n-k]$	$z^{-k}$	全平面（$k>0$ 时 $z\neq 0$ ）
$u[n]$	$\dfrac{1}{1-z^{-1}}=\dfrac{z}{z-1}$	$\\|z\\|>1$
$-u[-n-1]$	$\dfrac{1}{1-z^{-1}}=\dfrac{z}{z-1}$	$\\|z\\|<1$
$a^n u[n]$	$\dfrac{1}{1-az^{-1}}=\dfrac{z}{z-a}$	$\\|z\\|>\\|a\\|$
$-a^n u[-n-1]$	$\dfrac{1}{1-az^{-1}}=\dfrac{z}{z-a}$	$\\|z\\|<\\|a\\|$
$n a^n u[n]$	$\dfrac{az^{-1}}{(1-az^{-1})^2}=\dfrac{az}{(z-a)^2}$	$\\|z\\|>\\|a\\|$
$-n a^n u[-n-1]$	$\dfrac{az^{-1}}{(1-az^{-1})^2}=\dfrac{az}{(z-a)^2}$	$\\|z\\|<\\|a\\|$
$n^2 a^n u[n]$	$\dfrac{az^{-1}(1+az^{-1})}{(1-az^{-1})^3}$	$\\|z\\|>\\|a\\|$
$\cos(\omega_0 n)u[n]$	$\dfrac{1-\cos\omega_0\,z^{-1}}{1-2\cos\omega_0\,z^{-1}+z^{-2}}$	$\\|z\\|>1$
$\sin(\omega_0 n)u[n]$	$\dfrac{\sin\omega_0\,z^{-1}}{1-2\cos\omega_0\,z^{-1}+z^{-2}}$	$\\|z\\|>1$
$a^n\cos(\omega_0 n)u[n]$	$\dfrac{1-a\cos\omega_0\,z^{-1}}{1-2a\cos\omega_0\,z^{-1}+a^2z^{-2}}$	$\\|z\\|>\\|a\\|$
$a^n\sin(\omega_0 n)u[n]$	$\dfrac{a\sin\omega_0\,z^{-1}}{1-2a\cos\omega_0\,z^{-1}+a^2z^{-2}}$	$\\|z\\|>\\|a\\|$

四大变换性质对照

性质	傅里叶变换	双边拉氏变换	DTFT	z 变换
线性	$ax_1+ bx_2$	$aX_1(s)+bX_2(s)$	$aX_1+bX_2$	$aX_1(z)+bX_2(z)$
时移/位移	$x(t-t_0)\leftrightarrow e^{-j\omega t_0}X$	$x(t-t_0)\leftrightarrow e^{-st_0}X(s)$	$x[n-k]\leftrightarrow e^{-j\Omega k}X(e^{j\Omega})$	$x[n-k]\leftrightarrow z^{-k}X(z)$
频移/指数加权	$e^{j\omega_0 t}x(t)\leftrightarrow X(j(\omega-\omega_0))$	$e^{s_0 t}x(t)\leftrightarrow X(s-s_0)$	$e^{j\Omega_0 n}x[n]\leftrightarrow X(e^{j(\Omega-\Omega_0)})$	$a^n x[n]\leftrightarrow X(a^{-1}z)$
尺度/反转	$x(at)\leftrightarrow \frac{1}{\\|a\\|}X(j\frac{\omega}{a})$	$x(at)\leftrightarrow \frac{1}{\\|a\\|}X(\frac{s}{a})$	$x[-n]\leftrightarrow X(e^{-j\Omega})$	$x[-n]\leftrightarrow X(z^{-1})$
共轭	$x^(t)\leftrightarrow X^(-j\omega)$	$x^(t)\leftrightarrow X^(s^*)$	$x^[n]\leftrightarrow X^(e^{-j\Omega})$	$x^[n]\leftrightarrow X^(z^*)$
卷积	$x_1*x_2\leftrightarrow X_1\cdot X_2$	$x_1*x_2\leftrightarrow X_1\cdot X_2$	$x_1*x_2\leftrightarrow X_1\cdot X_2$	$x_1*x_2\leftrightarrow X_1\cdot X_2$
乘积/调制	$x_1\cdot x_2\leftrightarrow \frac{1}{2\pi}X_1*X_2$	$x_1\cdot x_2\leftrightarrow \frac{1}{2\pi j}X_1*X_2$	$x_1\cdot x_2\leftrightarrow \frac{1}{2\pi}X_1\circledast X_2$	$x_1\cdot x_2\leftrightarrow \frac{1}{2\pi j}X_1*X_2$
微分/差分	$\frac{dx}{dt}\leftrightarrow j\omega X$	$\frac{dx}{dt}\leftrightarrow sX(s)$	—	$x[n]-x[n-1]\leftrightarrow (1-z^{-1})X(z)$
频域微分	$tx(t)\leftrightarrow j\frac{dX}{d\omega}$	$tx(t)\leftrightarrow -\frac{dX}{ds}$	$nx[n]\leftrightarrow j\frac{dX}{d\Omega}$	$nx[n]\leftrightarrow -z\frac{dX}{dz}$
积分/累加	$\int_{-\infty}^{t}x\,d\tau\leftrightarrow \pi X(0)\delta(\omega)+\frac{X}{j\omega}$	$\int_{-\infty}^{t}x\,d\tau\leftrightarrow \frac{X(s)}{s}$	$\sum_{k=-\infty}^{n}x[k]\leftrightarrow \frac{X}{1-e^{-j\Omega}}+\pi X(1)\sum\delta$	$\sum_{k=-\infty}^{n}x[k]\leftrightarrow \frac{1}{1-z^{-1}}X(z)$
Parseval	$\int\\|x\\|^2dt=\frac{1}{2\pi}\int\\|X\\|^2d\omega$	—	$\sum\\|x\\|^2=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\\|X\\|^2d\Omega$	$\sum\\|x\\|^2=\frac{1}{2\pi j}\oint\\|X\\|^2\frac{dz}{z}$

NOTE

对称性：
- 实偶对实偶：实偶函数变换后也是实偶的（充要条件），此时傅里叶级数不含正弦项
- 虚奇对实奇：纯虚奇函数变换后是纯实奇函数，此时傅里叶级数不含余弦项
- 实连续信号的傅里叶变换满足 $X(-j\omega)=X^*(j\omega)$ ，幅度谱为偶函数，相位谱为奇函数
单边信号的导数/差分
- 连续信号：$x(t)\leftrightarrow X(s)$，则 $x^{(n)}(t)\leftrightarrow s^nX(s)-s^{n-1}x(0^{-})-s^{n-2}x'(0^{-})-\cdots-x^{(n-1)}(0^{-})$
- 离散信号：$x[n-m]\leftrightarrow z^{-m}X(z)+z^{-m}\sum_{k=-m}^{-1}x[k]z^{-k}$
信号稳定性的规律：
- 对于连续信号，其拉氏变换的极点全部位于左半平面时，信号稳定
- 对于离散信号，其 z 变换的极点全部位于单位圆内时，信号稳定
FT 与 DTFT 的存在条件：
- FT 存在：ROC 包含虚轴（连续）或绝对可积
- DTFT 存在：ROC 包含单位圆（离散），即 $\sum|x[n]|<\infty$ （绝对可和）
$u[n]$ 的 DTFT：含冲激项是因为 $u[n]$ 不是绝对可和的，其 DTFT 在 $\omega=0$ 处有直流分量。
收敛域规律：
- 右边序列：收敛域在最外极点圆外（z）或最右极点右侧（s）
- 左边序列：收敛域在最内极点圆内（z）或最左极点左侧（s）
- 双边序列：收敛域为圆环（z）或带状（s）

傅里叶变换的周期延拓

我们知道单个傅里叶变换有

x(t)\xleftrightarrow{\mathcal{F}}X(j\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}\,dt

那么我们可以通过以下变换将离散和连续联系起来

以 $T$ 为周期无限重复（周期延拓）

设周期延拓信号：

x_p(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x(t-kT)=x(t)*\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(t-kT)

其中冲激串（Shah 函数）$\displaystyle \text{III}T(t)=\sum{k=-\infty}^{\infty}\delta(t-kT)$ 的傅里叶变换为：

\mathcal{F}\{\text{III}_T(t)\}=\frac{2\pi}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta\!\left(\omega-\frac{2\pi k}{T}\right)

由时域卷积 ↔ 频域乘积：

\boxed{X_p(j\omega)=\frac{2\pi}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X\!\left(j\frac{2\pi k}{T}\right)\delta\!\left(\omega-\frac{2\pi k}{T}\right)}

物理意义：周期信号的频谱是离散冲激串，冲激位于谐波频率 $\omega=k\omega_0\;( \omega_0=2\pi/T)$ 处，权重正比于原频谱 $X(j\omega)$ 在该点的采样值。

这里对于已经扩展的信号（或者本身就是周期信号）$x(t)$ 的傅里叶级数的系数

\boxed{ a_k=\frac{1}{T}X(j\omega_0k)=\frac{1}{T}X(j\frac{2\pi k}{T}) }

注意这里求出 $a_k$ 后，得到傅里叶级数

x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_k e^{j\omega_0kt}

但是有些老师认为这样没有化简完成，根据傅里叶变换的对称性质，实偶函数的傅里叶级数不含正弦项，这里还需要用欧拉公式化简。

理想采样（时域乘积）

采样信号：

x_s(t)=x(t)\cdot\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(t-kT)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x(kT)\delta(t-kT)

由时域乘积 ↔ 频域卷积（系数 $1/2\pi$ ）：

\begin{aligned} X_s(j\omega)&=\frac{1}{2\pi}X(j\omega)*\left[\frac{2\pi}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta\!\left(\omega-\frac{2\pi k}{T}\right)\right]\\[6pt] &=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X\!\left(j\left(\omega-\frac{2\pi k}{T}\right)\right) \end{aligned}

\boxed{X_s(j\omega)=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X\!\left(j\left(\omega-\frac{2\pi k}{T}\right)\right)}

物理意义：采样使频谱以 $\omega_s=2\pi/T$ 为周期无限延拓（幅值缩放 $1/T$ ），若 $X(j\omega)$ 带宽超过 $\pi/T$ 就会发生混叠。

离散序列 $x[n]=x(nT)$ 的傅里叶变换（DTFT）

定义（离散数字频率 $\omega$ ，单位：rad/sample）：

X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j\omega n},\qquad x[n]=x(nT)

对比理想采样的频谱（连续角频率记为 $\omega_c$ ，单位：rad/s）：

X_s(j\omega_c)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT)e^{-j\omega_c nT}

令 $\omega=\omega_c T$ （即 $\omega_c=\omega/T$ ），立得：

\boxed{X(e^{j\omega})=X_s\!\left(j\frac{\omega}{T}\right)=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X\!\left(j\frac{\omega-2\pi k}{T}\right)}

总结对照表

操作	时域表达式	频域结果
原信号	$x(t)$	$X(j\omega_c)$
周期延拓（周期 $T$ ）	$\displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}x(t-kT)$	$\displaystyle\frac{2\pi}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X\!\left(j\frac{2\pi k}{T}\right)\delta\!\left(\omega_c-\frac{2\pi k}{T}\right)$
理想采样（周期 $T$ ）	$\displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}x(kT)\delta(t-kT)$	$\displaystyle\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X\!\left(j\left(\omega_c-\frac{2\pi k}{T}\right)\right)$
离散序列 DTFT	$x[n]=x(nT)$	$\displaystyle X(e^{j\omega})=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X\!\left(j\frac{\omega-2\pi k}{T}\right)$

符号说明：表中 $X(e^{j\omega})$ 的 $\omega$ 是离散数字频率；$X(j\cdot)$ 括号内是连续角频率（rad/s），因此出现 $\omega/T$ 的换算。

罗斯阵列

罗斯阵列（Routh-Hurwitz 判据） 是不解特征方程、不直接求极点的情况下，判断系统是否稳定（即所有极点是否都在左半平面）的代数方法。

而且对于含参的 $H(s)$ 罗斯阵列几乎是最快的求参数何时具有稳定的方法

罗斯阵列构造

罗斯阵列的构造是机械的"两行交叉相除"，核心规则只有一条：

第 1 步：摆前两行（直接抄系数）

$s^n$ 行：$an,\ a{n-2},\ a{n-4},\ a{n-6},\ \ldots$（跳一个取一个）

$s^{n-1}$ 行：$a{n-1},\ a{n-3},\ a{n-5},\ a{n-7},\ \ldots$（跳一个取一个）

若某位置没有系数，补 0。

第 2 步：从第 3 行开始，逐行计算

通用公式（计算新行的第 $j$ 个元素）：

\boxed{\text{新}_{j}=\frac{(\text{上一行首元素})\times(\text{上上行第 }j+1\text{ 元素})-(\text{上上行首元素})\times(\text{上一行第 }j+1\text{ 元素})}{\text{上一行首元素}}}

例子

如有特征方程： $$ D(s)=a4s^4+a3s^3+a2s^2+a1s+a_0=0 $$

必要条件（先快速排除）：所有系数同号且不缺项，稳定。若有系数为 0 或异号，一定不稳定。

罗斯表：

$s^4$	$a_4$	$a_2$	$a_0$
$s^3$	$a_3$	$a_1$	$0$
$s^2$	$b_1=\frac{a_3a_2-a_4a_1}{a_3}$	$b_2=\frac{a_3a_0-a_4\cdot 0}{a_3}=a_0$
$s^1$	$c_1=\frac{b_1a_1-a_3b_2}{b_1}$
$s^0$	$d_1=\frac{c_1b_2-b_1\cdot 0}{c_1}=b_2$

判据：

第一列 $\{a_4,\,a_3,\,b_1,\,c_1,\,d_1\}$ 全部同号（通常全为正）→ 系统稳定
第一列符号变化次数 = 右半平面极点个数

两种特殊情况处理

1. 某行第一列元素为 0，但其余不全为 0

用无穷小正数 $\varepsilon$ 代替 0 继续计算，最后令 $\varepsilon\to 0^+$ 看符号。

2. 某行全部为零

说明存在关于原点对称的根（共轭虚根或相反实根）。用上一行构造辅助多项式 $A(s)$ ，对其求导后系数替换全零行，继续计算。辅助多项式的根也是原方程的根。

信号与系统复习

信号与系统复习

典型系统判定方法

线性系统

时不变系统

因果系统

无记忆系统

可逆系统

稳定系统

单位冲激函数、单位延迟函数

连续 δ(t)\delta(t)δ(t) 的核心性质

离散 δ[n]\delta[n]δ[n] 的核心性质

连续 u(t)u(t)u(t)

离散 u[n]u[n]u[n]

u(t)u(t)u(t) 与 u[n]u[n]u[n] 的关键区别

常用组合公式

四大变换总表

连续时间

离散时间

离散时间傅里叶变换（DTFT）

z 变换

四大变换性质对照

NOTE

傅里叶变换的周期延拓

以 TTT 为周期无限重复（周期延拓）

理想采样（时域乘积）

离散序列 x[n]=x(nT)x[n]=x(nT)x[n]=x(nT) 的傅里叶变换（DTFT）

总结对照表

罗斯阵列

罗斯阵列构造

第 1 步：摆前两行（直接抄系数）

第 2 步：从第 3 行开始，逐行计算

例子

两种特殊情况处理

1. 某行第一列元素为 0，但其余不全为 0

2. 某行全部为零

连续 $\delta(t)$ 的核心性质

离散 $\delta[n]$ 的核心性质

连续 $u(t)$

离散 $u[n]$

$u(t)$ 与 $u[n]$ 的关键区别

以 $T$ 为周期无限重复（周期延拓）

离散序列 $x[n]=x(nT)$ 的傅里叶变换（DTFT）